MIT 18.01 单变量微积分

Posted on 2023-01-05 Edited on 2023-02-01 In 笔记

常用公式

三角函数

\[ \sin^2x + \cos ^ 2 x = 1\\ \]

求导

三角函数求导

\[ \sin'x = \cos x\\ \cos'x = - \sin x\\ \tan'x = \frac{1}{\cos^2x} = \sec^2x\\ \arctan' x = \frac{1}{1+x^2}\\ \]

指数函数和对数函数

\[ \frac{\text d}{\text d x}\ln x = \frac{1}{x}\\ \frac{\text d}{\text d x}e^x = e^x\\ \frac{\text d}{\text dx}a^x = \ln a \cdot a^x\\ \frac{\text d}{\text d x} \ln u = \frac{1}{u}\frac{\text d u}{\text d x} \]

导数（derivative)

Lecture1: 导数的几何解释

如图, \(P\)点的导数便是过\(P\)点的切线(tangent line)的斜率, 记作\(f'(P)\).

什么样子的线是切线? 我们先看由点\(PQ\)构成的割线(secant line). 当\(PQ\)两点的距离趋于\(0\)时, 割线与切线便无限接近.

如图. 可得 \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

一些符号

导数(牛顿记法): \(f'\)

导数(莱布尼兹记法): \(\frac{\text df}{\text dx},\frac{\text dy}{\text d x},\frac{\text d}{\text dx}f,\frac{\text d}{\text dx}y\)

一个有用的公式(推导见手写笔记): \[ \frac{\text d}{\text d x}x^n = n \cdot x^{n-1} \]

Lecture2: 极限, 连续性和三角函数的极限

我们用\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)来计量某个函数在一段时间内的平均变化率. 当\(\Delta x \to 0\)时, 这便变成了瞬时变化率.

Limits and Continuity

简单的极限可以直接带入运算:

但是对于 \[ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} \] 它不是一个简单极限. 因为我们不能将\(\Delta x = 0\)代入运算, 这样永远会得到\(\frac{0}{0}\). 注意: \[ \lim_{x \to x_0} \] 暗示了\(x \neq x_0\).

左右极限(Left and Right Limt)

我们用以下两个记号来表示左极限和右极限: \[ \lim_{x\to x_0^-} (左极限, 此时x < x_0)\\ \lim_{x\to x_0^+} (右极限, 此时x > x_0)\\ \]

连续性(Continuity)

我们称\(f(x)\)在\(x_0\)连续, 当且仅当 \[ \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) \] 这意味着:

\(f(x)\)在点\(x_0\)的极限必须存在, 且左右极限相等
\(f(x_0)\)是有定义的
\(\lim_{x\to x_0}f(x)\)与\(f(x_0)\)相等

如图, \(\lim_{x \to 0^+}f(x) = 1\), 但是\(f(0) = 0\). 因此该函数在点\(0\)不连续.

以下是不连续的几种情况:

Removable Discontinuity

该点的左右极限存在且相等, 但与该点的函数值不等(或该点的函数值未定义)

Jump Discontinuity

左右极限均存在, 但不相等.

Infinite Discontinuity

\(x = 0\)时, 左极限为负无穷, 右极限为正无穷.

Other (ugly) discontinuities

导数的图像(Picturing the derivative)

注意导数的图像和原函数的图像没有什么相关性. 而且对一个奇函数求导, 它的导数一定是一个偶函数.

定理: 可导必连续(Theorem: Differentiable Implies Continuous)

\[ 如果f在x_0处可导, 那么f必定在x_0处连续. \]

Lecture 3: 导数的四则运算及三角函数

求导公式(Derivative Formulas)

特殊求导公式

\[ \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1\\ \lim_{\theta\to0}\frac{1 - cos\theta}{\theta} = 0 \]

证明:

sin, cos

\[ \frac{\text d}{\text d x}\sin x = \cos x\\ \frac{\text d}{\text d x}\cos x = -\sin x\\ \]

推导过程:

一般求导公式

加法法则 \[ (u+v)' = u' + v' \]
乘积法则

\[ (uv)' = u'v + uv' \]

除法法则(quotient rule) \[ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}(v \neq 0) \]
证明: 加法法则
证明: 乘法法则

几何上的理解: \((uv)' \cdot \Delta x = (u + \Delta u)(v + \Delta v) - uv\), 即图中粉色, 白色, 黄色部分之和. 又因为\(\Delta u \cdot \Delta v \approx 0\), 所以有 \[ (uv)' \approx \frac{u \Delta v + v \Delta u}{\Delta x} \\ = uv’ +u'v \]

证明: 除法法则

Lecture 4:链式法则和高阶导数

链式法则(Chain Rule)

\[ \frac{\text{d}y}{\text{d}t} = \frac{\text{d} y}{\text{d}x} \cdot \frac{\text{d}x}{\text{d}t} \]

高阶导数(Higher Derivatives)

Lecture 5 隐函数微分及逆函数导数

隐函数微分(Implicit Differentiation)

有些函数(例如\(x^2 + y^2 = 1\))不具有明显的\(y = f(x)\)形式, 但是能通过变形得到(本例可得\(y = \sqrt{1 - x^2}\)). 这样的函数称为隐函数. 对隐函数求导, 可在方程两边同时对\(x\)求导, 得到一个包含\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)的式子, 再求解\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)即可.